寒い地方と暖かい地方でバッテリーの状態が変わるか？

温度という点では差があるものと思われます。
基本的にバッテリーは発熱します。

熱が上がりすぎるとバッテリーそのものに負担がかかります。
ただ、寒冷地と熱帯地方でどちらがバッテリーにとって好ましいかというのは、難しい問題です。

ある種の車で「エンジンの熱が直接影響するためにバッテリーの寿命が短い」とクレームがあったので、断熱処理をしたという例があります。

沖縄など暖かい地方では注意が必要かもしれません。

冬の気温が低い北国では、バッテリーが冷却された結果、見かけのバッテリー容量が小さくなることがあります。

温度が下がるとエンジンオイルの粘度が上がるので、エンジンの始動性が悪くなります。

バッテリーの見かけ容量が低下するので、よけいにエンジンがかかりにくくなることがあります。

実際に、寒冷地仕様車のバッテリーは容量が大きめのものを搭載しているのが普通です。寒冷地ではラスロンＧが特に効果を発揮します。

電動フォークリフトの稼働時間で見た場合、冷凍庫内と常温倉庫では使用運転時間に差が現れます。

冷凍倉庫で使用する機種は、最初から大きめの容量のバッテリーを搭載しているものもあります。